Бинарные отношения и их свойства. Понятие отношения на множестве Возвращаясь к основам T-SQL

Пусть R - некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.

1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.

R -рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X

Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендику­лярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.

2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.

R - симметрично на (хЯу =>у Rx)

Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельнос­ти, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симмет­ричностью, а отношение «длиннее» - не является симметричным (рис. 42).

3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.

R - антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)

Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.

На графе антисимметричного отношения две точки может сое­динять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллель­ности, перпендикулярности и равенства не являются антисиммет­ричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметрич­ными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).

4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z

R - транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)

На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения яв­ляются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.

Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.

Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.

Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по груп­пам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение мно­жеств полосок и мячей на классы.

Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрич­но, то оно называется отношением порядка на этом множестве.

Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают эле­менты множеств полосок и числовых карточек при помощи отно­шений порядка; «быть шире», «следовать за».

Вообще отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

6. Что такое характеристическое свойство множества?

7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.

8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их от­ношение при помощи символов.

9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.

10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.

14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите усло­вия правильной классификации.

15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назо­вите способы задания соответствий.

16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

17. Какие множества называют равномощными?

18. Какие множества называют равночисленными?

19. Назовите способы задания отношений на множестве.

20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?

21. Какое отношение на множестве называют симметричным?

22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?

23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?

24. Дайте определение отношения эквивалентности.

25. Дайте определение отношения порядка.

26. Какое множество называют упорядоченным?

Определения

• 1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения RAB, RAА.
• 2. Если А=В, то R - это бинарное отношение на A.
• 3. Обозначение: (x, y)R xRy.
• 4. Область определения бинарного отношения R - это множество R = {x: существует y такое, что (x, y)R}.
• 5. Область значений бинарного отношения R - это множество R = {y: существует x такое, что (x, y)R}.
• 6. Дополнение бинарного отношения R между элементами А и В - это множество R = (AB) R.
• 7. Обратное отношение для бинарного отношения R - это множество R1 = {(y, x) : (x, y)R}.
• 8. Произведение отношений R1AB и R2BC - это отношение R1 R2 = {(x, y) : существует zB такое, что (x, z)R1 и (z, y)R2}.
• 9. Отношение f называется функцией из А в В, если выполняется два условия:
  • а) f = А, f В
  • б) для всех x, y1, y2 из того, что (x, y1)f и (x, y2)f следует y1=y2.
• 10. Отношение f называется функцией из А на В, если в первом пункте будет выполняться f = А, f = В.
• 11. Обозначение: (x, y)f y = f(x).
• 12. Тождественная функция iA: AA определяется так: iA(x) = x.
• 13. Функция f называется 1-1-функцией, если для любых x1, x2, y из того, что y = f(x1) и y = f(x2) следует x1=x2.
• 14. Функция f: AB осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В, если f = А, f = В и f является 1-1-функцией.
• 15. Свойства бинарного отношения R на множестве А:
  • - рефлексивность: (x, x)R для всех xA.
  • - иррефлексивность: (x, x)R для всех xA.
  • - симметричность: (x, y)R (y, x)R.
  • - антисимметричность: (x, y)R и (y, x)R x=y.
  • - транзитивность: (x, y)R и (y, z)R (x, z)R.
  • - дихотомия: либо (x, y)R, либо (y, x)R для всех xA и yA.
• 16. Множества А1, A2, ..., Аr из Р(А) образуют разбиение множества А, если
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

Подмножества Аi , i = 1, ..., r, называются блоками разбиения.

• 17. Эквивалентность на множестве А - это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на А.
• 18. Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R - это множество [x]R={y: (x, y)R}.
• 19. Фактор множество A по R - это множество классов эквивалентности элементов множества А. Обозначение: A/R.
• 20. Классы эквивалентности (элементы фактор множества А/R) образуют разбиение множества А. Обратно. Любому разбиению множества А соответствует отношение эквивалентности R, классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения. По-другому. Каждый элемент множества А попадает в некоторый класс эквивалентности из A/R. Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
• 21. Предпорядок на множестве A - это рефлексивное и транзитивное отношение на А.
• 22. Частичный порядок на множестве A - это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А.
• 23. Линейный порядок на множестве A - это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А, удовлетворяющее свойству дихотомии.

Пусть A={1, 2, 3}, B={a, b}. Выпишем декартово произведение: AB = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }. Возьмём любое подмножество этого декартова произведения: R = { (1, a), (1, b), (2, b) }. Тогда R - это бинарное отношение на множествах A и B.

Будет ли это отношение являться функцией? Проверим выполнение двух условий 9a) и 9б). Область определения отношения R - это множество R = {1, 2} {1, 2, 3}, то есть первое условие не выполняется, поэтому в R нужно добавить одну из пар: (3, a) или (3, b). Если добавить обе пары, то не будет выполняться второе условие, так как ab. По этой же причине из R нужно выбросить одну из пар: (1, a) или (1, b). Таким образом, отношение R = { (1, a), (2, b), (3, b) } является функцией. Заметим, что R не является 1-1 функцией.

На заданных множествах A и В функциями также будут являться следующие отношения: { (1, a), (2, a), (3, a) }, { (1, a), (2, a), (3, b) }, { (1, b), (2, b), (3, b) } и т.д.

Пусть A={1, 2, 3}. Примером отношения на множестве A является R = { (1, 1), (2, 1), (2, 3) }. Примером функции на множестве A является f = { (1, 1), (2, 1), (3, 3) }.

Примеры решения задач

1. Найти R, R, R1, RR, RR1, R1R для R = {(x, y) | x, y D и x+y0}.

Если (x, y)R, то x и y пробегают все действительные числа. Поэтому R = R = D.

Если (x, y)R, то x+y0, значит y+x0 и (y, x)R. Поэтому R1=R.

Для любых xD, yD возьмём z=-|max(x, y)|-1, тогда x+z0 и z+y0, т.е. (x, z)R и (z, y)R. Поэтому RR = RR1 = R1R = D2.

2. Для каких бинарных отношений R справедливо R1= R?

Пусть RAB. Возможны два случая:

• (1) AB. Возьмём xAB. Тогда (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Противоречие.
• (2) AB=. Так как R1BA, а RAB, то R1= R= . Из R1 = следует, что R = . Из R = следует, что R=AB. Противоречие.

Поэтому если A и B, то таких отношений R не существует.

3. На множестве D действительных чисел определим отношение R следующим образом: (x, y)R (x-y) - рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность.

Рефлексивность:

Для любого xD x-x=0 - рациональное число. Потому (x, x)R.

Симметричность:

Если (x, y)R, то x-y = . Тогда y-x=-(x-y)=- - рациональное число. Поэтому (y, x)R.

Транзитивность:

Если (x, y)R, (y, z)R, то x-y = и y-z =. Складывая эти два уравнения, получаем, что x-z = + - рациональное число. Поэтому (x, z)R.

Следовательно, R - это эквивалентность.

4. Разбиение плоскости D2 состоит из блоков, изображённых на рисунке а). Выписать отношение эквивалентности R, соответствующее этому разбиению, и классы эквивалентности.

Аналогичная задача для b) и c).

а) две точки эквивалентны, если лежат на прямой вида y=2x+b, где b - любое действительное число.

b) две точки (x1,y1) и (x2,y2) эквивалентны, если (целая часть x1 равна целой части x2) и (целая часть y1 равна целой части y2).

с) решить самостоятельно.

Задачи для самостоятельного решения

• 1. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C, то fg есть функция из A в C.
• 2. Пусть A и B - конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.

Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B?

Сколько имеется функций из A в B?

Сколько имеется 1-1 функций из A в B?

При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B?

3. Доказать, что f удовлетворяет условию f(AB)=f(A)f(B) для любых A и B тогда и только тогда, когда f есть 1-1 функция.

Определения

1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения RÍA´B, RÍA´А.

2. Если А=В , то R – это бинарное отношение на A .

3. Обозначение: (x, y)ÎR Û xRy.

4. Область определения бинарного отношения R – это множество d R = {x : существует y такое, что (x, y)ÎR }.

5. Область значений бинарного отношения R – это множество r R = {y : существует x такое, что (x, y)ÎR }.

6. Дополнение бинарного отношения R между элементами А и В – это множество -R = (A´B) \ R .

7. Обратное отношение для бинарного отношенияR – это множество R -1 = {(y, x) : (x, y)ÎR} .

8. Произведение отношений R 1 ÍA´B и R 2 ÍB´C – это отношение R 1 × R 2 = {(x, y) : существует zÎB такое, что (x, z)ÎR 1 и (z, y)ÎR 2 }.

9. Отношение f называется функцией из А в В , если выполняется два условия:

а) d f = А , r f Í В

б) для всех x ,y 1 ,y 2 из того, что (x, y 1)Îf и (x, y 2)Îf следует y 1 =y 2 .

10. Отношение f называется функцией из А на В , если в первом пункте будет выполняться d f = А , r f = В .

11. Обозначение: (x, y)Îf Û y = f(x) .

12. Тождественная функция i A: A®A определяется так: i A (x) = x .

13. Функция f называется 1-1-функцией , если для любых x 1 , x 2 , y из того, что y = f(x 1) и y = f(x 2) следует x 1 =x 2 .

14. Функция f: A®B осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В , если d f = А , r f = В и f является 1-1-функцией.

15. Свойства бинарного отношения R на множестве А :

- рефлексивность: (x, x)ÎR для всех xÎA .

- иррефлексивность: (x, x)ÏR для всех xÎA .

- симметричность: (x, y)ÎR Þ (y, x)ÎR .

- антисимметричность: (x, y)ÎR и (y, x)ÎR Þ x=y .

- транзитивность: (x, y)ÎR и (y, z)ÎR Þ (x, z)ÎR .

- дихотомия: либо (x, y)ÎR , либо(y, x)ÎR для всехxÎA иyÎA .

16. Множества А 1 , A 2 , ..., А r из Р(А) образуют разбиение множества А , если

- А i ¹ Æ , i = 1 , ..., r ,

- A = A 1 ÈA 2 È...ÈA r ,

- A i ÇA j = Æ , i ¹ j .

ПодмножестваА i , i = 1 , ..., r , называются блоками разбиения .

17. Эквивалентность на множестве А – это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на А .

18. Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R – это множество [x] R ={y: (x, y)ÎR} .

19. Фактор множество A поR – это множество классов эквивалентности элементов множества А . Обозначение: A/R .

20. Классы эквивалентности (элементы фактор множества А/R ) образуют разбиение множества А. Обратно. Любому разбиению множества А соответствует отношение эквивалентности R , классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения. По-другому. Каждый элемент множества А попадает в некоторый класс эквивалентности из A/R . Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

21. Предпорядок на множестве A – это рефлексивное и транзитивное отношение на А .

22. Частичный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А .

23. Линейный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А, удовлетворяющее свойству дихотомии.

Пример 1.

Пусть A={1 , 2 , 3} , B={a , b} . Выпишем декартово произведение: A´B = { (1 , a) , (1 , b) , (2 , a) , (2 , b) , (3 , a) , (3 , b) } . Возьмём любое подмножество этого декартова произведения: R = { (1 , a) , (1 , b) , (2 , b) } . Тогда R – это бинарное отношение на множествах A и B .

Будет ли это отношение являться функцией? Проверим выполнение двух условий 9a) и 9б). Область определения отношения R – это множество d R = {1, 2} ¹ {1, 2, 3} , то есть первое условие не выполняется, поэтому в R нужно добавить одну из пар: (3 , a) или (3 , b) . Если добавить обе пары, то не будет выполняться второе условие, так как a¹b . По этой же причине из R нужно выбросить одну из пар: (1 , a) или (1 , b) . Таким образом, отношение R¢ = { (1 , a) , (2 , b) , (3 , b) } является функцией. Заметим, что R¢ не является 1-1 функцией.

На заданных множествах A и В функциями также будут являться следующие отношения: { (1 , a) , (2 , a) , (3 , a) } , { (1 , a) , (2 , a) , (3 , b) } , { (1 , b) , (2 , b) , (3 , b) } и т.д.

Пример 2.

Пусть A={1 , 2 , 3} . Примером отношения на множестве A является R = { (1, 1), (2, 1), (2, 3) } . Примером функции на множестве A является f = { (1, 1), (2, 1), (3, 3) } .

Примеры решения задач

1. Найти d R ,r R ,R -1 ,R×R ,R×R -1 ,R -1 ×R для R = {(x, y) | x, y Î D и x+y£0} .

Если (x, y)ÎR , то x и y пробегают все действительные числа. Поэтому d R = r R = D.

Если(x, y)ÎR , тоx+y£0 , значит y+x£0 и(y, x)ÎR . Поэтому R -1 =R .

Для любых xÎD , yÎD возьмём z=-|max(x, y)|-1 , тогда x+z£0 и z+y£0 , т.е.(x, z)ÎR и(z, y)ÎR .ПоэтомуR×R = R×R -1 = R -1 ×R = D 2 .

2. Для каких бинарных отношений R справедливо R -1 = -R ?

Пусть RÍA´B . Возможны два случая:

(1) AÇB¹Æ . Возьмём xÎAÇB . Тогда (x, x)ÎR Û (x, x)ÎR -1 Û (x, x)Î-R Û (x, x)Î(A´B) \ R Û (x, x)ÏR . Противоречие.

(2) AÇB=Æ . Так как R -1 ÍB´A , а-RÍA´B , то R -1 = -R= Æ . Из R -1 = Æ следует, что R = Æ . Из -R = Æ следует, что R=A´B . Противоречие.

Поэтому если A¹Æ иB¹Æ , то таких отношений R не существует.

3. На множестве D действительных чисел определим отношение R следующим образом: (x, y)ÎR Û (x–y) – рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность.

Рефлексивность:

Для любого xÎD x-x=0 – рациональное число. Потому (x, x)ÎR .

Симметричность:

Если (x, y)ÎR , то x-y = . Тогдаy-x=-(x-y)=- – рациональное число. Поэтому (y, x)ÎR .

Транзитивность:

Если (x, y)ÎR , (y, z)ÎR , то x-y = и y-z = . Складывая эти два уравнения, получаем, что x-z = + – рациональное число. Поэтому (x, z)ÎR .

Следовательно, R – это эквивалентность.

4. Разбиение плоскости D 2 состоит из блоков, изображённых на рисунке а). Выписать отношение эквивалентности R , соответствующее этому разбиению, и классы эквивалентности.

Аналогичная задача для b) и c).

а) две точки эквивалентны, если лежат на прямой вида y=2x+b , где b – любое действительное число.

b) две точки (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2) эквивалентны, если (целая часть x 1 равна целой части x 2 ) и (целая часть y 1 равна целой части y 2 ).

с) решить самостоятельно.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C , то f×g есть функция из A в C .

2. Пусть A и B – конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.

a) Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B ?

b) Сколько имеется функций из A в B ?

c) Сколько имеется 1-1 функций из A в B ?

d) При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B ?

3. Доказать, что f удовлетворяет условию f(AÇB)=f(A)Çf(B) для любых A и B тогда и только тогда, когда f есть 1-1 функция.

КОМБИНАТОРИКА

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается:

n! = 1·2·3·…·(n-1)·n, 0! = 1

Пусть X={x 1 , x 2 , ..., x n } – это множество из n элементов, k £ n .

Размещение элементов из X объёма k – это упорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих X .

Количество размещений объёма k из n

= n k (знач мест)

Если на каждую i -ю из k позиций можно поставить один из q i элементов множества X, то количество таких размещений равно:

(q 1 , q 2 , ..., q n) = q 1 × q 2 × ... × q n

Количество размещений объёма k из n

= n (n - 1 )(n - 2 ) … (n - k + 1 )=

Перестановка элементов из X – это размещение элементов из X объёма n .

Количество перестановок из n различных элементов:

= P n = n!

Если n элементов содержат q i элементов i -го сорта, q 1 + q 2 + ... + q m = n и элементы одного сорта идентичны, то число перестановок равно:

P n (q 1 , q 2 , ..., q m) =

Сочетание элементов из X объёма k – это неупорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих X .

Сочетания, размещения и перестановки могут быть также с повторениями элементов множества X (неограниченными и ограниченными).

Количество сочетаний объёма k из n различных элементов без повторений:

Количество сочетаний объёма k из n различных элементов с неограниченными повторениями:

Бином Ньютона:

Свойства:

(2)

(4)

(5)

При решении комбинаторных задач часто используются следующие правила комбинаторики:

1. Правило суммы. Если объект А может быть выбран n способами, а объект B другими m способами, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен n+m способами.
2. Правило произведения. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект B в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «A и B» в указанном порядке может быть осуществлен n×m способами.

Задача-пример . Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?

Решение . Условие «не более трех» означает, что в команду может входить либо 3 юноши, либо 2 юноши, либо 1 юноша, либо ни одного юноши. Таким образом, в задаче выделяются четыре различных случая. В соответствии с правилом сложения нужно подсчитать количества вариантов в каждом из этих случаев и сложить их.

Рассмотрим первый случай. Нужно подсчитать, сколькими способами можно выбрать из 12 девушек и 10 юношей команду, состоящую из 3х юношей и 2х девушек. Из 10 юношей можно выбрать 3х юношей способами. Для каждых трех выбранных юношей можно выбрать также способами 2х девушек из 12ти. Поэтому работает правило умножения и в первом случае число вариантов команд равно × .

Аналогично, во втором случае: × .

В третьем случае: × .

В четвертом случае: .

Окончательный ответ: × + × + × + .

Примеры решения задач

№1.17. n (n>2) человек садятся за круглый стол. Два размещения по местам будем считать совпадающим, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколько существует способов сесть за стол?

Решение.

Общее количество всевозможных рассадок равно числу перестановок из n элементов P n = n! Однако из этих рассадок нужно исключить совпадающие. Отношение соседства сохраняется при циклических перестановках (их n штук) и при симметрическом отражении (их также n штук):

Поэтому всего способов (делить, т.к. правило умножения)

№1.19. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?

Решение.

Всего способов вынуть 10 карт из колоды . Из них в случаях в выборке не окажется ни одного туза. Поэтому ответ – .

№1.20. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов?

Решение .

Сначала выберем из n шахматистов 6 человек. Это можно сделать способами. Теперь каждую шестёрку будем разбивать на пары. Для этого поставим 6 шахматистов в ряд, считая, что они имеют имена: a, b, c, d, e, f. Это можно сделать 6! способами. Однако нам не важен порядок внутри каждой пары и порядок самих пар. Перестановок, в которых шахматисты меняются местами в парах 2 3 . Перестановок, в которых меняются местами пары 3!. Поэтому разбить на пары 6 шахматистов можно способами. Ответ .

№1.24. Сколько существует чисел от 0 до 10 n , в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры?

Решение.

Рассмотрим все n-значные числа. Первую цифру мы можем выбрать 9-ю способами. Чтобы вторая цифра была отлична от первой, то её также можно выбрать 9-ю способами. Количество таких n-значных чисел равно количеству размещений объёма n из 9 элементов с неограниченными повторениями, т.е. равна 9 n для n>1 и 10 для n=1.

Поэтому ответ 10+9 2 +9 3 +...+9 n . Число 10 n не подходит.

ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

· Пусть N – это множество натуральных чисел, включая нуль.

· В данном разделе курса будут рассматриваться функции многих переменных f n (x 1 , ..., x n), определенные на некотором множестве MÍN n c натуральными значениями, т.е. f n (x 1 , ..., x n)ÎN, x i ÎN для i=1, ..., n, или f n Í N n +1 .

· Функция f n (x 1 , ..., x n) называется всюду определенной, если её областью определения является N n ­ , т.е. для любого набора из n натуральных чисел существует натуральное число, являющееся значением функции f n .

· Простейшие всюду определенные функции:

1. s(x)=x+1 для любого x;

2. o(x)=0 для любого x;

3. I n m (x 1 , ..., x m , ..., x n)=x m .

Эти простейшие функции всюду определены и из них с помощью конечного числа применений операторов, введенных ниже, можно конструировать более сложные функции.

· Оператор суперпозиции:

Функция h n (x 1 , ..., x n) получается из функций g m , f n 1 , ..., f n m с помощью оператора суперпозиции, если h n (x 1 , ..., x n) = g m (f n 1 (x 1 , ..., x n), ..., f n m (x 1 , ..., x n)).

· Оператор примитивной рекурсии:

Функция f n +1 (x 1 , ..., x n , y) получается из функций g n (x 1 , ..., x n) и h n +2 (x 1 , ..., x n , y, z) с помощью оператора примитивной рекурсии, если она может быть задана схемой примитивной рекурсии:

æf n+1 (x 1 , ..., x n , 0) = g n (x 1 , ..., x n),

èf n+1 (x 1 , ..., x n , y+1) = h n+2 (x 1 , ..., x n , y, f n+1 (x 1 , ..., x n , y)).

· Оператор минимизации:

Функция f n (x 1 , ..., x n) получается из функции g n +1 (x 1 , ..., x n , y) с помощью оператора минимизации и обозначается f n (x 1 , ..., x n)=my, если:

f n (x 1 , ..., x n) определено и равно y Û g n +1 (x 1 , ..., x n , 0), ..., g n +1 (x 1 , ..., x n , y-1) определены и не равны нулю, а g n +1 (x 1 , ..., x n , y)=0.

(Можно говорить также: «Функция f n (x 1 , ..., x n) равна минимальному значению y, при котором функция g n +1 обращается в нуль»)

· Примитивно рекурсивная функция (прф)

Функция f n +1 (x 1 , ..., x n , y) называется примитивно рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

Следует отметить, что все примитивно рекурсивные функции всюду определены.

· Частично рекурсивная функция (прф)

Функция f n +1 (x 1 , ..., x n , y) называется частично рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

· Из определений легко заметить, что примитивно рекурсивные функции являются также частично рекурсивными. Однако существуют частично рекурсивные функции, не являющиеся примитивно рекурсивными.

Примеры решения задач

1. Доказать, что следующие функции являются примитивно рекурсивными.

Решение . Функция f(x) может быть получена с помощью n-кратного применения оператора суперпозиции к простейшей функции s(x).

Решение . Функция f(x) может быть задана следующей схемой примитивной рекурсии:

æf(x, 0) = x = I 1 1 (x),

èf(x, y+1) = x+y+1=f(x,y)+1=s(f(x,y))=s(I 3 3 (x,y,f(x,y))).

Здесь функция g(x) имеет вид g(x)= I 1 1 (x) и является, как и полагается, функцией одной переменной. А функция h(x,y,z) имеет вид h(x,y,z)=s(I 3 3 (x,y,z)) и является функцией трех переменных.

Заметим, что функции g(x) и h(x,y,z) являются прф, т.к. g(x) – третья простейшая функция, а h(x,y,z) может быть получена из простейших функций s(x) и I 3 3 (x,y,z) с помощью применения оператора суперпозиции.

Так как функцию f(x,y) можно получить с помощью оператора примитивной рекурсии из примитивно рекурсивных функций g(x) и h(x,y,z), то f(x,y) – прф.

Решение. Функция f(x) может быть задана следующей схемой примитивной рекурсии:

æf(x, 0) = 0 = o(x),

èf(x, y+1) = x(y+1)=xy+x=f(x,y)+x= I 3 3 (x,y,f(x,y)))+ I 3 1 (x,y,f(x,y))).

Так как функцию f(x,y) можно получить с помощью оператора примитивной рекурсии из примитивно рекурсивных функций g(x)=o(x) и h(x,y,z) = I 3 3 (x,y,z)) + I 3 1 (x,y,z)), то f(x,y) – прф.

2. Пусть g(x 1 , ..., x n ,y) примитивно рекурсивная функция. Доказать, что следующая функция примитивно рекурсивна:

Решение. Особенность этой функции заключается в том, что суммирование ведется по переменному числу слагаемых. Однако функция f n +1 может быть задана следующей схемой примитивной рекурсии:

æf(x 1 , ..., x n , 0) = g(x 1 , ..., x n ,0) – прф,

èf(x 1 , ..., x n , y+1) = = f(x 1 , ..., x n , y) + g(x 1 , ..., x n ,y+1) – сумма прф g и самой функции f.

3. Доказать, что следующая функция частично рекурсивна.

Решение. Покажем, что функция f(x,y) может быть получена с помощью оператора минимизации.

Пусть x³y, тогда f(x,y) определена и принимает некоторое значение: f(x,y) = x-y = z. Как вычислить z? Можно предложить следующий способ: начиная с нуля перебирать по порядку все значения z, пока не выполнится условие x-y=z, или x-y-z=0. Такое z обязательно найдется, т.к. x-y³0. Если же x-y<0, то ни какое натуральное z не подойдет.

Программист записал бы это так:

unsigned int f(x,y)

while((x-y-z)!=0) z++;

То же самое можно записать и в терминах оператора минимизации:

f(x, y)=mz[|x–y–z|=0]

Модуль необходим для того, чтобы функция g(x,y,z)=|x–y–z| была определена, даже если x–y<0. Заметим, что g(x,y,z)=|x–y–z| является примитивно рекурсивной, т.к. может быть получена с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции к простейшим функциям.

a) нигде не определённая функция (т.е. функция с пустой областью определения) ;

b)

c)

Язык T-SQL в SQL Server базируется на стандартном языке SQL, основанном на реляционной модели, которая, в свою очередь, базируется на математических основаниях, таких как теория множеств и логика предикатов. В данной статье рассматривается фундаментальная тема из теории множеств: свойства отношений на множествах. Предлагаемые коды T-SQL читатели смогут использовать для проверки наличия определенных свойств тех или иных отношений. Но можно еще попробовать написать собственные версии сценариев (чтобы определить, обладает ли отношение конкретным свойством), прежде чем применять описанные в статье решения.

Множества и отношения

Георг Кантор, создатель теории множеств, определяет множество как «объединение в некое целое M совокупности определенных хорошо различимых объектов m нашего созерцания или мышления (которые будут называться элементами множества M)». Элементами множества могут быть объекты произвольной природы: люди, цифры и даже сами множества. Символы ∈ и ∉ обозначают, соответственно операторы, отражающие принадлежность (вхождение, членство) и непринадлежность элемента множеству. Так, запись x ∈ V означает, что x является элементом множества V, а запись x ∉ V - что x не является элементом V.

Бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов исходного множества. Так, для множества элементов V = {a, b, c}, бинарным отношением R на данном множестве V будет произвольное подмножество множества всех упорядоченных пар декартова произведения V × V = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}. Отношение R = {(a, b), (b, c), (a, c)} является допустимым бинарным отношением на V. Можно сказать, что a соотносится с b посредством R. Предположим, что R = {(a, b), (b, c), (c, d)}. Такое R не является допустимым отношением на V, поскольку пара (c, d) не принадлежит декартову произведению V × V. Заметим, что порядок указания элементов, входящих во множество, не важен. Множество V может быть задано как {a, b, c} или как {b, a, c} и так далее. Однако порядок в упорядоченных парах, например в (a, b) бинарного отношения, важен; таким образом (a, b) ≠ (b, a).

В качестве более реального примера бинарного отношения рассмотрим множество F членов семьи: {Ицик, Микки, Инна, Мила, Габи}. Микки - брат-близнец Ицика, Инна - его старшая сестра, Мила - мама, а Габи - отец. Примером отношения R на множестве F будет: «является братом». Элементы этого отношения суть {(Ицик, Микки), (Микки, Ицик), (Ицик, Инна), (Микки, Инна)}. Отмечаем, что упорядоченная пара (Ицик, Инна) появляется в R, а пара (Инна, Ицик) - нет. Хотя Ицик - брат Инны, она ему братом не приходится.

Свойства отношений на множествах

Теперь, когда мы освежили наши представления о множествах и отношениях, приступим к теме статьи - свойствам отношений на множествах. В качестве данных для примера обратимся к кодам листинга 1, чтобы создать таблицы V и R. V будет представлять множество, а R - бинарное отношение на нем. Используйте код листинга 2 для создания процедуры ClearTables, с помощью которой сможете очистить от записей обе эти таблицы перед их заполнением новыми образцами данных. Наконец, используйте коды листингов 3, 4 и 5 для наполнения таблиц V и R различными наборами данных для тестирования (будем их называть примерами данных 1, 2 и 3 соответственно).

Рефлексивность. Отношение R на множестве V является рефлексивным, если для любого элемента v множества V, v ∈ V, следует, что (v, v) ∈ R, то есть пара (v, v) всегда принадлежит R. А отношение R на V не рефлексивно, если найдется такой элемент v ∈ V, что пара (v, v) ∉ R. Вновь рассмотрим пример множества F - членов моей семьи.

Отношение «иметь одинаковый возраст с» на F, очевидным образом, рефлексивно. Элементами отношения будут следующие пары: {(Ицик, Ицик), (Ицик, Микки), (Микки, Микки), (Микки, Ицик), (Инна, Инна), (Мила, Мила), (Габи, Габи)}.

Приступим к написанию T-SQL запроса к таблицам V и R (представляющим множество и отношение на этом множестве), проверяющего, обладает ли R свойством рефлексивности:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT v, v FROM dbo.V
EXCEPT
SELECT r1, r2 FROM dbo.R)
THEN "Нет"
ELSE "Да",
END AS reflexive

Первый подзапрос в операции EXCEPT возвращает набор всех упорядоченных пар (v, v) для всех строк таблицы V. Второй подзапрос возвращает набор упорядоченных пар (r1, r2) - всех строк таблицы R. Операция EXCEPT, таким образом, вернет все упорядоченные пары, встречающиеся в первом и отсутствующие во втором наборе. Предикат EXISTS нужен для проверки существования хотя бы одной записи в результирующем наборе. Если найдется хотя бы одна такая запись, то выражение CASE возвратит нам «Нет» (нет рефлексивности), но и «Да» - в противном случае (есть рефлексивность).

Взгляните на три примера наборов данных в листингах 3, 4 и 5 и попытайтесь определить без запуска запроса, в каких из них отношение будет рефлексивным. Ответы даются далее в тексте статьи.

Иррефлексивнось. Отношение R на множестве V называется иррефлексивным (не путать с нерефлексивностью), если для каждого элемента v ∈ V следует, что (v, v) ∉ R. Отношение не иррефлексивно, если найдется элемент v ∈ V, для которого (v, v) ∈ R. Примером иррефлексивного отношения на множестве F членов моей семьи служит отношение «быть родителем», так как никакой человек не может быть родителем самому себе. Членами этого отношения на F будут следующие пары: {(Мила, Ицик), (Мила, Микки), (Мила, Инна), (Габи, Ицик), (Габи, Микки), (Габи, Инна)}.

Следующий запрос является проверочным - будет ли отношение R на V иррефлексивным:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT * FROM dbo.R
WHERE r1 = r2)
THEN "Нет"
ELSE "Да"
END AS irreflexive

Внешние ключи в определении таблицы R были введены для обеспечения того, что лишь элементы V смогут составить атрибуты r1 и r2 записи R. Таким образом, остается только проверить, нет ли в R записей с совпадающими атрибутами r1 и r2. Если такая запись найдется, отношение R не иррефлексивно, если записи нет, оно иррефлексивно.

Симметричность. Отношение R на множестве V называется симметричным, если вместе с (r1, r2) ∈ R всегда выполняется и (r2, r1) ∈ R. Отношение не симметрично, если найдется некоторая пара (r1, r2) ∈ R, для которой (r2, r1) ∉ R. На множестве F членов семьи Бен-Ган отношение «является братом или сестрой (is a sibling of)» будет примером симметричного отношения. Парами этого отношения будут следующие наборы: {(Ицик, Микки), (Ицик, Инна), (Микки, Ицик), (Микки, Инна), (Инна, Ицик), (Инна, Микки)}.

Следующий запрос является проверочным - будет ли отношение R на V симметричным:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R
EXCEPT
SELECT r2, r1 FROM dbo.R)
THEN "Нет"
ELSE "Да"
END AS symmetric

Код запроса использует операцию EXCEPT. Первый подзапрос операции EXCEPT возвращает набор упорядоченных пар (r1, r2) - записей таблицы R, а второй - набор упорядоченных пар (r2, r1) по каждой записи R. Если отношение R на множестве V не симметрично, то операция EXCEPT вернет непустой результирующий набор, а предикат EXISTS, соответственно, значение TRUE и, наконец, выражение CASE вернет «Нет».

Если отношение симметрично, то выражение CASE даст «Да».

Асимметричность. Отношение R на множестве V асимметрично (не следует путать это свойство с несимметричностью), если для каждого набора (r1, r2) ∈ R, в котором r1 ≠ r2, справедливо, что (r2, r1) ∉ R. Примером асимметричного отношения на множестве F членов семьи автора будет отношение «являться родителем», которое было описано выше. В качестве упражнения постарайтесь придумать пример отношения на непустом множестве, которое одновременно является симметричным и асимметричным. Проверьте пример данных в этой статье в качестве решения.

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R WHERE r1 r2
INTERSECT
SELECT r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
THEN "Нет"
ELSE "Да"
END AS asymmetric

В коде используется операция INTERSECT. Первый подзапрос в этой операции возвращает упорядоченную пару (r1, r2) для каждой записи таблицы R, в которой r1 r2.

Второй подзапрос операции INTERSECT возвращает упорядоченную пару (r2, r1) для каждой записи таблицы R, в которой r1 r2. Если в результирующий набор (результат пересечения этих множеств) входит хотя бы одна запись, это будет означать, что R не асимметрично; в противном случае R асимметрично.

Транзитивность. Отношение R на множестве V является транзитивным, если из включений (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R, всегда вытекает, что и (a, c) ∈ R. Примером транзитивного отношения на множестве членов семьи F будет отношение «является братом или сестрой», которое было рассмотрено выше.

Приведенный ниже код проверяет транзитивность отношения R:

SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT *
FROM dbo.R AS RA
INNER JOIN dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
LEFT OUTER JOIN dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 AND RB.r2 = RC.r2
WHERE RC.r1 IS NULL)
THEN "Нет"
ELSE "Да"
END AS transitive

В коде, во‑первых, используется внутренняя связь (inner join) между двумя экземплярами R, для того чтобы отбирать лишь те строки, в которых r2 в первом экземпляре совпадает с r1 на втором экземпляре. Во‑вторых, в коде применяется левая внешняя связь (left outer join) с третьим экземпляром таблицы R, в соответствии с которой r1 первого экземпляра R совпадает с r1 третьего экземпляра, а r2 второго экземпляра совпадает с r2 третьего. Если существует хотя бы одна результирующая строка во внутреннем подзапросе (условие отбора для третьего экземпляра: r1 есть Null), это означает, что отношение не транзитивно; в противном случае отношение R транзитивно.

Отношение эквивалентности. Отно­ше­нием эквивалентности является такое отношение, которое одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Можно использовать запросы, предложенные выше для раздельной проверки наличия каждого свойства: если отношение обладает всеми тремя, то следует заключить, что имеет место отношение эквивалентности. Кроме того, вы можете использовать коды листинга 6 для проверки всех свойств отношения R на множестве V, которые ранее обсуждались в статье, в том числе проверку свойства быть отношением эквивалентности. Если провести прогонку листинга 6 для примеров данных 1, 2 и 3 (полученных на основе листингов 3, 4 и 5 соответственно), то получатся результаты, приведенные в таблицах 1, 2 и 3 соответственно.

Возвращаясь к основам T-SQL

Таким образом, мы рассмотрели фундаментальную тему из математической теории множеств: свойства отношений на множествах. Я предложил проверочные коды T-SQL для контроля свойств некоторого отношения, представленного таблицей R (упорядоченных пар элементов), на множестве элементов, представленных таблицей V.

Использование основных конструкций T-SQL помогло нам правильно настроить и применить средства этого языка для лучшего понимания свойств отношений на множествах.

Ицик Бен-Ган ([email protected]) - преподаватель и консультант, автор книг по T-SQL, имеет звание SQL Server MVP

Бинарные отношения.

Пусть A и B – произвольные множества. Возьмем по одному элементу из каждого множества, a из A, b из B и запишем их так: (сначала элемент первого множества, затем элемент второго множества – т.е. нам важен порядок, в котором берутся элементы). Такой объект будем называть упорядоченной парой . Равными будем считать только те пары, у которых элементы с одинаковыми номерами равны. = , если a = c и b = d. Очевидно, что если a ≠ b, то ≠ .

Декартовым произведением произвольных множеств A и B (обозначается: AB) называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй принадлежит B. По определению: AB = { | aA и bB}. Очевидно, что если A≠B, то AB ≠ BA. Декартово произведение множества A само на себя n раз называется декартовой степенью A (обозначается: A n).

Пример 5. Пусть A = {x, y} и B = {1, 2, 3}.

AB = {, , , , , }.

BA = {<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = {, , , }.

BB = B 2 = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Бинарным отношением на множестве M называется множество некоторых упорядоченных пар элементов множества M. Если r – бинарное отношение и пара принадлежит этому отношению, то пишут: r или x r y. Очевидно, r Í M 2 .

Пример 6. Множество {<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>} является бинарным отношением на множестве {1, 2, 3, 4, 5}.

Пример 7. Отношение ³ на множестве целых чисел является бинарным отношением. Это бесконечное множество упорядоченных пар вида , где x ³ y, x и y – целые числа. Этому отношению принадлежат, например, пары <5, 3>, <2, 2>, <324, -23> и не принадлежат пары <5, 7>, <-3, 2>.

Пример 8. Отношение равенства на множестве A является бинарным отношением: I A = { | x Î A}. I A называется диагональю множества A.

Поскольку бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы операции объединения, пересечения, дополнения и разности.

Областью определения бинарного отношения r называется множество D(r) = { x | существует такое y, что xry }. Областью значений бинарного отношения r называется множество R(r) = { y | существует такое x, что xry }.

Отношением, обратным к бинарному отношению r Í M 2 , называется бинарное отношение r -1 = { | Î r}. Очевидно, что D(r ‑1) = R(r), R(r ‑1) = D(r), r ‑ 1 Í M 2 .

Композицией бинарных отношений r 1 и r 2 , заданных на множестве M, называется бинарное отношение r 2 o r 1 = { | существует y такое, что Î r 1 и Í r 2 }. Очевидно, что r 2 o r 1 Í M 2 .

Пример 9. Пусть бинарное отношение r задано на множестве M = {a, b, c, d}, r = {, , , }. Тогда D(r) = {a, c}, R(r) = {b, c, d}, r ‑1 = {, , , }, r o r = {, , , }, r ‑1 o r = {, , , }, r o r ‑1 = {, , , , , , }.

Пусть r – бинарное отношение на множестве M. Отношение r называется рефлексивным , если x r x для любого x Î M. Отношение r называется симметричным , если вместе с каждой парой оно содержит и пару . Отношение r называется транзитивным , если из того, что x r y и y r z следует, что x r z. Отношение r называется антисимметричным , если оно не содержит одновременно пары и различных элементов x ¹ y множества M.

Укажем критерии выполнения этих свойств.

Бинарное отношение r на множестве M рефлексивно тогда и только тогда, когда I M Í r.

Бинарное отношение r симметрично тогда и только тогда, когда r = r ‑1 .

Бинарное отношение r на множестве M антисимметрично тогда и только тогда, когда r Ç r ‑1 = I M .

Бинарное отношение r транзитивно тогда и только тогда, когда r o r Í r.

Пример 10. Отношение из примера 6 является антисимметричным, но не является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Отношение из примера 7 является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, но не является симметричным. Отношение I A обладает всеми четырьмя рассматриваемыми свойствами. Отношения r ‑1 o r и r o r ‑1 являются симметричными, транзитивными, но не являются антисимметричными и рефлексивными.

Отношением эквивалентности на множестве M называется транзитивное, симметричное и рефлексивное на М бинарное отношение.

Отношением частичного порядка на множестве М называется транзитивное, антисимметричное и рефлексивное на М бинарное отношение r.

Пример 11. Отношение из примера 7 является отношением частичного порядка. Отношение I A является отношением эквивалентности и частичного порядка. Отношение параллельности на множестве прямых является отношением эквивалентности.